16075. Из точки P
, лежащей внутри треугольника ABC
, опущены перпендикуляры PP_{1}
и PP_{2}
на стороны AC
и BC
соответственно. Из точки C
опущены перпендикуляры CQ_{1}
и CQ_{2}
на прямые AP
и BP
соответственно, причём точка Q_{2}
отлична от P_{1}
, а точка Q_{1}
отлична от P_{2}
. Докажите, что прямые Q_{1}P_{2}
, Q_{2}P_{1}
и AB
пересекаются в одной точке.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Из точек P_{1}
, P_{2}
, Q_{1}
, Q_{2}
отрезок CP
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром CP
, и шестиугольник CQ_{1}P_{2}PQ_{2}P_{1}
вписанный.
Прямые PQ_{2}
и CP_{2}
пересекаются в точке B
, прямые Q_{1}P
и P_{1}C
— в точке A
. Пусть R
— точка пересечения прямых Q_{1}P_{2}
и Q_{2}P_{1}
. Тогда по теореме Паскаля (см. задачу 6390 и примечание к ней) точка R
лежит на прямой AB
. Отсюда следует утверждение задачи.
Аналогично для любого другого случая.
Источник: Международная математическая олимпиада. — 1992, из материалов жюри
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1993, № 8, задача 1, с. 223