16078. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность радиуса R
. Диагонали AC
и BD
пересекаются в точке E
.
а) Докажите, что если AC\perp BD
, то
EA^{2}+EB^{2}+EC^{2}+ED^{2}=4R^{2}.
б) Верно ли обратное, т. е. следует ли из этого равенства, что AC\perp BD
?
Ответ. Нет, не следует.
Решение. а) См. задачу 131.
б) Пусть ABCD
— прямоугольник, не являющийся квадратом, E
— точка пересечения его диагоналей AC=BD=2R
. Тогда
EA^{2}+EB^{2}+EC^{2}+ED^{2}=4R^{2},
но диагонали не перпендикулярны.
Источник: Британская математическая олимпиада. — 1991
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1994, № 3, задача 3, с. 69