16082. Докажите или опровергните неравенство
\frac{\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}}+\frac{\cos\frac{\alpha-\gamma}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\gamma}{2}}+\frac{\cos\frac{\beta-\gamma}{2}}{\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}}\geqslant4,
где \alpha
, \beta
и \gamma
— углы треугольника.
Ответ. Неравенство верно.
Решение. Поскольку
\frac{\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}}+\frac{\cos\frac{\alpha-\gamma}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\gamma}{2}}+\frac{\cos\frac{\beta-\gamma}{2}}{\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}}=
=\frac{\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}-\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}}+\frac{\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\gamma}{2}-\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\gamma}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\gamma}{2}}+\frac{\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}-\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}}{\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}}=
=\left(1+\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\beta}{2}\right)+\left(1+\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\gamma}{2}\right)+\left(1+\tg\frac{\beta}{2}\tg\frac{\gamma}{2}\right)=
=3+\left(\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\gamma}{2}+\tg\frac{\beta}{2}\tg\frac{\gamma}{2}\right)=3+1=4
(см. задачу 4438), то исходное неравенство верно.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1994, № 6, задача 1860 (1993, с. 170), с. 170