16086. Отрезки AD
, AE
и AM
— соответственно высота, биссектриса и медиана нетупоугольного треугольника ABC
. Известно, что величины BD
, DE
, EM
и MC
в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию.
а) Найдите все такие треугольники ABC
.
б) Прямая, проходящая через точку E
перпендикулярно AE
, пересекает сторону AC
в точке F
. Докажите, что треугольник EMF
равнобедренный.
Ответ. а) Все прямоугольные треугольники, в которых катет AB
относится к гипотенузе AC
как 1:5
.
Решение. а)
Пусть BD=u
, DE=u+d
, EM=u+2d
, MC=u+3d
. Тогда
BD+DR+EM+MC=BM=MC~\Rightarrow~3u+3d=u+3d~\Rightarrow~u=0.
Значит,
\angle ABD=90^{\circ},~BE=d,~EC=2d+3d=5d.
По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{EC}=\frac{d}{5d}=\frac{1}{5}.
Следовательно, все искомые треугольники прямоугольные с прямым углом при вершине B
и отношением AB:BC=1:5
.
б) Пусть прямые EF
и AB
пересекаются в точке H
, а G
— проекция точки F
на прямую BC
. Треугольник AFH
равнобедренный (AF=AH
), так как его высота AE
является биссектрисой. Значит, EH=EF
, поэтому прямоугольные треугольники FGH
и HDE
равны по гипотенузе и острому углу. Тогда EG=BE=d
, а так как EM=2d
, то FG
— высота и медиана треугольника EFM
. Следовательно, FE=FM
, т. е. треугольник EMF
равнобедренный.