16104. Докажите, что среди всех треугольников с заданной вписанной окружностью наименьший периметр имеет равносторонний.
Решение. Пусть стороны треугольника равны a
, b
и c
, полупериметр треугольника равен p
, площадь равна S
, радиус равен r=1
. Тогда
S=pr=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},~\mbox{или}~(p-a)(p-b)(p-c)=p.
Поскольку
p=(p-a)+(p-b)+(p-c),
то (см. примечание к задаче 3399)
\sqrt[{3}]{p}=\sqrt[{3}]{(p-a)(p-b)(p-c)}\leqslant\frac{(p-a)+(p-b)+(p-c)}{3}=\frac{p}{3},
откуда p\leqslant3\sqrt{3}
, причём равенство достигается, если p-a=p-b=p-c
, т. е. когда a=b=c
.
Источник: Североевропейское математическое соревнование (Nordic Mathematical Contest, NMC). — 1994
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1996, № 4, задача 3 (1994, с. 277), с. 161