16125. Дан квадрат ABCD
. На его сторонах AB
и CD
как на гипотенузах построены равные прямоугольные треугольники AMN
и CND
с катетами CN=AM=a
и DN=BM=b
. Найдите MN
.
Ответ. (a+b)\sqrt{2}
.
Решение. Заметим, что
\angle CAM=\angle CAB+\angle BAM=45^{\circ}+\angle DCN=\angle ACD+\angle DCN=\angle ACN,
поэтому AM\parallel CN
, а так как AM=CN
, то AMCN
— параллелограмм, и точка O
пересечения его диагоналей AC
и MN
— общая середина отрезков AC
и MN
. Тогда O
— центр квадрата ABCD
, а также MN=2OM
.
Поскольку OM=\frac{a+b}{\sqrt{2}}
(см. задачу 1366), то
MN=2OM=(a+b)\sqrt{2}.
Примечание. Отрезок OM
можно найти также по теореме Менелая из четырёхугольника AOBM
, т. е.
a\cdot OM=a\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}+b\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}~\Rightarrow~OM=\frac{a+b}{\sqrt{2}}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1998, № 4, задача H224, с. 224