16132. Радиус описанной окружности треугольника ABC
равен R
, а радиусы окружностей, проходящих через вершины соответственно A
, B
и C
и касающихся противолежащих сторон в их серединах, равны R_{a}
, R_{b}
и R_{c}
соответственно. Докажите, что
R_{a}^{2}+R_{b}^{2}+R_{c}^{2}\geqslant\frac{27}{16}R^{2}.
Решение. Пусть медианы и высоты треугольника ABC
со сторонами BC=a
, AC=b
и AB=c
, проведённые из вершин A
, B
и C
равны соответственно m_{a}
, m_{b}
, m_{c}
и h_{a}
, h_{b}
, h_{c}
. Пусть M
— середина стороны BC
, а O_{a}
— центр окружности, проходящей через точку A
и касающейся стороны BC
в точке M
, K
— середина медианы AM
, а \angle MAO_{1}=\alpha
.
Из треугольника AO_{1}K
получаем
\frac{1}{2}m_{a}=\frac{1}{2}AM=AK=O_{1}A\cos\alpha=R_{a}\cos\alpha=R_{a}\cdot\frac{h_{a}}{m_{a}},
откуда \frac{1}{2}m_{a}^{2}=R_{a}h_{a}
. Аналогично,
\frac{1}{2}m_{b}^{2}=R_{b}h_{b}~\mbox{и}~\frac{1}{2}m_{c}^{2}=R_{c}h_{c}.
По формуле для медианы треугольника (см. задачу 4014)
4m_{a}^{2}=2b^{2}+2c^{2}-a^{2},~4m_{b}^{2}=2a^{2}+2c^{2}-b^{2},~4m_{c}^{2}=2a^{2}+2b^{2}-c^{2},
откуда
R_{a}h_{a}+R_{b}h_{b}+R_{c}h_{c}=\frac{m_{a}^{2}}{2}+\frac{m_{b}^{2}}{2}+\frac{m_{c}^{2}}{2}=\frac{m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}}{2}=
=\frac{3}{8}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).
Применив неравенство Коши—Буняковского и учитывая, что
h_{a}=\frac{bc}{2R},~h_{b}=\frac{ac}{2R},~h_{c}=\frac{ab}{2R}~\Rightarrow~h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2}=\frac{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}}{4R^{2}},
получим
(R_{a}h_{a}+R_{b}h_{b}+R_{c}h_{c})^{2}\leqslant(R_{a}^{2}+R_{b}^{2}+R_{c}^{2})(h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2}),
откуда
R_{a}^{2}+R_{b}^{2}+R_{c}^{2}\geqslant\frac{(R_{a}h_{a}+R_{b}h_{b}+R_{c}h_{c})^{2}}{h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2}}=\frac{\left(\frac{3}{8}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\right)^{2}}{\frac{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}}{4R^{2}}}=
=\frac{9}{16}R^{2}\cdot\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}}\geqslant\frac{9}{16}R^{2}\cdot3=\frac{27}{16}R^{2},
так как
\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}}\geqslant3~\Leftrightarrow~(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\geqslant3(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~a^{4}+b^{4}+c^{4}\geqslant a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~2a^{4}+2b^{4}+2c^{4}\geqslant2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(a^{2}-b^{2})^{2}+(a^{2}-c^{2})^{2}+(b^{2}-c^{2})^{2}\geqslant0.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1998, № 8, задача 2280 (1997, с. 431), с. 516