16135. Точка I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, а BD
и CE
— биссектрисы треугольника. Отрезки AI
и DE
пересекаются в точке P
, причём PD=PI
. Найдите угол ACB
.
Ответ. 120^{\circ}
.
Решение. Обозначим через \alpha
, \beta
и \gamma
— углы треугольника ABC
, противолежащие сторонам BC=a
, CA=b
и AB=c
соответственно.
Поскольку PD=PI
, из равнобедренного треугольника DPI
получаем
\angle EDI=\angle AID=\angle ABI+\angle BAI=\frac{\beta+\alpha}{2}.
Тогда (см. задачу 4770)
\angle DEI=180^{\circ}-\angle EDI-\angle EID=180^{\circ}-\frac{\beta+\alpha}{2}-\left(90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}\right)=
=90^{\circ}-\alpha-\frac{\beta}{2}=\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2}\right)-\alpha=\frac{\gamma-\alpha}{2},
\angle DEA=180^{\circ}-\angle EAD-\angle ADE=180^{\circ}-\angle EAD-(\angle ACE+\angle DEI)=
=180^{\circ}-\alpha-\left(\frac{\gamma}{2}+\frac{\gamma-\alpha}{2}\right)=180^{\circ}-\gamma-\frac{\alpha}{2}.
По теореме синусов из треугольников AED
и CED
получаем
\frac{DE}{AD}=\frac{\sin\alpha}{\sin\left(\gamma+\frac{\alpha}{2}\right)},~\frac{DE}{DC}=\frac{\sin\frac{\gamma}{2}}{\sin\frac{\gamma-\alpha}{2}},
откуда, после деления первого равенства на второе, применив свойство биссектрисы треугольника (см. задачу 1509), получим
\frac{a}{c}=\frac{DC}{AD}=\frac{\sin\alpha\sin\frac{\gamma-\alpha}{2}}{\sin\frac{\gamma}{2}\sin\left(\gamma+\frac{\alpha}{2}\right)}.
Тогда
\frac{\sin\alpha}{\sin\gamma}=\frac{a}{c}=\frac{\sin\alpha\sin\frac{\gamma-\alpha}{2}}{\sin\frac{\gamma}{2}\sin\left(\gamma+\frac{\alpha}{2}\right)},
откуда
\sin\frac{\gamma}{2}\sin\left(\gamma+\frac{\alpha}{2}\right)=\sin\gamma\sin\frac{\gamma-\alpha}{2}=2\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\gamma}{2}\sin\frac{\gamma-\alpha}{2}~\Rightarrow
\Rightarrow~\sin\left(\gamma+\frac{\alpha}{2}\right)=2\cos\frac{\gamma}{2}\sin\frac{\gamma-\alpha}{2}=\sin\left(\gamma-\frac{\alpha}{2}\right)-\sin\frac{\alpha}{2}~\Rightarrow
\Rightarrow~\sin\frac{\alpha}{2}=\sin\left(\gamma-\frac{\alpha}{2}\right)-\sin\left(\gamma+\frac{\alpha}{2}\right)=-2\cos\gamma\sin\frac{\alpha}{2}~\Rightarrow
\Rightarrow~\cos\gamma=-\frac{1}{2}~\Rightarrow~\gamma=120^{\circ}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1999, № 3, задача 2334 (1998, с. 177), с. 188