16139. Точка O
лежит внутри равностороннего треугольника со стороной a
. Лучи AO
, BO
и CO
пересекают стороны треугольника в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно. Докажите, что
OA_{1}+OB_{1}+OC_{1}\lt a.
Решение. Заметим, что
AA_{1}\lt AC=a,~BB_{1}\lt AB=a,~CC_{1}\lt BC=a
(см. задачу 1788).
Пусть OO'
и AA'
— высоты треугольников BOC
и ABC
. Тогда
\frac{OA_{1}}{AA_{1}}=\frac{OO'}{AA'}=\frac{S_{\triangle BOC}}{S_{\triangle ABC}}.
Аналогично,
\frac{OB_{1}}{BB_{1}}=\frac{S_{\triangle AOC}}{S_{\triangle ABC}},~\frac{OC_{1}}{CC_{1}}=\frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle ABC}}.
Сложив эти три равенства, получим
\frac{OA_{1}}{AA_{1}}+\frac{OB_{1}}{BB_{1}}+\frac{OC_{1}}{CC_{1}}=\frac{S_{\triangle BOC}+S_{\triangle AOC}+S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle ABC}}=1,
а так как
AA_{1}\lt a,~BB_{1}\lt a,~CC_{1}\lt a,
то
\frac{OA_{1}}{AA_{1}}+\frac{OB_{1}}{BB_{1}}+\frac{OC_{1}}{CC_{1}}\gt\frac{OA_{1}}{a}+\frac{OB_{1}}{a}+\frac{OC_{1}}{a}.
Значит,
1\gt\frac{OA_{1}}{a}+\frac{OB_{1}}{a}+\frac{OC_{1}}{a}.
Следовательно,
OA_{1}+OB_{1}+OC_{1}\lt a.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Верно более общее утверждение (см. задачу 6263).