16156. Точки R
, S
и T
лежат на сторонах соответственно BC
, CA
и AB
треугольника ABC
, причём R
— середина BC
, CS=3SA
и \frac{AT}{TB}=\frac{p}{q}
. Обозначим через w
, x
и z
площади треугольников CRS
, RBT
и ATS
. Найдите \frac{p}{q}
, если x^{2}=wz
.
Ответ. \frac{\sqrt{105}-3}{6}
.
Решение. Обозначим \frac{p}{q}=r
. Пусть площадь треугольника ABC
равна s
.
Поскольку
\frac{BT}{BA}=\frac{q}{p+q}=\frac{1}{1+r}~\mbox{и}~\frac{BR}{BC}=\frac{1}{2},
то (см. задачу 3007)
x=\frac{1}{1+r}\cdot\frac{1}{2}\cdot s=\frac{s}{2(1+r)}.
Аналогично,
w=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}s=\frac{3}{8}s~\mbox{и}~z=\frac{1}{4}\cdot\frac{r}{r+1}\cdot s.
Тогда
x^{2}=wz~\Rightarrow~\left(\frac{s}{2(1+r)}\right)^{2}=\frac{3}{8}s\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{r}{r+1}\cdot s~\Rightarrow~3r^{2}+3r-8=0.
Условию задачи удовлетворяет положительный корень \frac{p}{q}=r=\frac{\sqrt{105}-3}{6}
этого уравнения.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2001, № 1, с. 38