16165. Углы треугольника равны \alpha
, \beta
и \gamma
, радиусы вписанной и описанной окружностей равны r
и R
соответственно, полупериметр треугольника равен p
. Докажите, что
\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma=\frac{2pr}{R^{2}}.
Решение. Применив формулы
\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}=\frac{r}{4R},
(см. задачу 3225а),
\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}=\frac{p}{4R},
(см. задачу 3225в) и
\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma=4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma
(см. задачу 11287), получим
\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma=4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma=
=4\cdot2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\cdot2\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cdot2\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\gamma}{2}=
=32\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}\cdot\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}=32\cdot\frac{r}{4R}\cdot\frac{p}{4R}=\frac{2pr}{R^{2}}.
Что и требовалось доказать.