16170. Углы треугольника со сторонами a
, b
, c
и площадью S
равны \frac{\pi}{7}
, \frac{2\pi}{7}
и \frac{4\pi}{7}
. Докажите, что
\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{S}=4\sqrt{7}.
Решение. Пусть стороны a
, b
и c
противолежат углам \frac{\pi}{7}
, \frac{2\pi}{7}
и \frac{4\pi}{7}
соответственно.
По теореме косинусов
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\frac{\pi}{7},
а также S=\frac{1}{2}bc\sin\frac{\pi}{7}
. Тогда
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\left(\frac{2S}{\sin\frac{\pi}{7}}\right)\cos\frac{\pi}{7}=b^{2}+c^{2}-4S\ctg\frac{\pi}{7}.
Аналогично,
b^{2}=c^{2}+a^{2}-4S\ctg\frac{2\pi}{7},~c^{2}=a^{2}+b^{2}-4S\ctg\frac{4\pi}{7}.
Сложив эти три равенства и разделив результат на S
, получим
\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{S}=4\left(\ctg\frac{\pi}{7}+\ctg\frac{2\pi}{7}+\ctg\frac{4\pi}{7}\right),
а так как
\ctg\frac{4\pi}{7}=\ctg\left(\pi-\frac{3\pi}{7}\right)=-\ctg\frac{3\pi}{7}
и
\ctg\frac{\pi}{7}+\ctg\frac{2\pi}{7}-\ctg\frac{3\pi}{7}=\sqrt{7}
(см. задачу 16169), то
\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{S}=4\sqrt{7}.
Что и требовалось доказать.
Примечание. См. также статью Н.Б.Васильева и В.А.Сендерова «Про угол \frac{\pi}{7}
и \sqrt{7}
», Квант, 1996, N2, с.20-21.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2001, № 5, задача 2547 (2000, с. 238), с. 344