16184. Точки O
и H
— соответственно центр описанной окружности и ортоцентр треугольника ABC
, а радиус описанной окружности треугольника равен R
. Радиус OH
окружности \Gamma
с центром O
равен \rho
. Рассмотрим треугольник A'B'C'
, вершины которого — точки пересечения касательных к окружности \Gamma
, проведённых в точках пересечения этой окружности с лучами OA
, OB
и OC
. Выразите радиус описанной окружности треугольника ABC
через R
и \rho
.
Ответ. \frac{2\rho R^{2}}{R^{2}-\rho^{2}}
.
Решение. Обозначим углы при вершинах A
, B
и C
треугольника ABC
через \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Пусть B'C'\perp AO
, C'A'\perp BO
и A'B'\perp CO
, а R'
— радиус описанной окружности треугольника A'B'C'
. Тогда
\angle B'A'C'=180^{\circ}-2\alpha,~\angle A'B'C'=180^{\circ}-2\beta,~\angle A'C'B'=180^{\circ}-2\gamma.
По формуле для радиуса вписанной окружности треугольника (см. задачу 3225а) получим
\rho=4R'\sin\frac{180^{\circ}-2\alpha}{2}\sin\frac{180^{\circ}-2\beta}{2}\sin\frac{180^{\circ}-2\gamma}{2}=4R'\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma.
По формуле расстояния между ортоцентром треугольника и центром описанной окружности (см. задачу 4145б)
\rho^{2}=OH^{2}=R^{2}(1-8\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma),
откуда
4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma=\frac{R^{2}-\rho^{2}}{2R^{2}}.
Значит,
\rho=4R'\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma=R'\cdot\frac{R^{2}-\rho^{2}}{2R^{2}}.
Следовательно,
R'=\frac{2\rho R^{2}}{R^{2}-\rho^{2}}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2002, № 4, задача 2611 (2001, с. 49, 2002, с. 268), с. 251