4145. Пусть R
— радиус окружности с центром O
, описанной около треугольника со сторонами a
, b
и c
, H
— точка пересечения высот. Докажите, что:
а) OH^{2}=9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})
;
б) OH^{2}=R^{2}(1-8\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma)
, где \alpha
, \beta
и \gamma
— углы треугольника
Указание. См. задачи 3967 и 5044.
Решение. а) Пусть M
точка пересечения медиан треугольника со сторонами a
, b
и c
. Тогда (см. задачу 3967)
OM^{2}=R^{2}-\frac{1}{9}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).
Точка H
пересечения высот, точка M
пересечения медиан и центр O
описанной окружности треугольника лежат на одной прямой — прямой Эйлера, причём точка M
лежит между O
и H
, и OH=3OM
(см. задачу 5044). Следовательно,
OH^{2}=9OM^{2}=9\left(R^{2}-\frac{1}{9}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\right)=9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2}).
Что и требовалось доказать.
б) По теореме Гамильтона (см. задачу 4516), учитывая, что
\cos2\alpha+\cos2\beta+2\cos2\gamma=-1-4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma
(см. задачу 3254а), получаем
\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}~\Rightarrow~
~\Rightarrow~OH^{2}=\overrightarrow{OH}^{2}=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})^{2}=3R^{2}+2R^{2}(\cos2\alpha+\cos2\beta+2\cos2\gamma)=
=R^{2}(3-2-8\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma)=R^{2}(1-8\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma).
Что и требовалось доказать.
Примечание. 1. См. также статью Г.Филипповского «О двух параллелограммах в треугольнике», Квант, 2008, N4, с.34-35.
2. Из пункта а) получаем ещё один способ доказательства неравенства
\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\leqslant\frac{1}{8}
(см. задачу 3253б).