16186. Радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными a
, b
и c
, равен R
. Докажите, что
18R^{3}\geqslant(a^{2}+b^{2}+c^{2})R+abc\sqrt{3}.
Решение. Пусть углы при вершинах A
, B
и C
данного треугольника ABC
, противолежащие сторонам BC=a
, AC=b
и AB=c
, равны соответственно \alpha
, \beta
и \gamma
; O
— центр описанной окружности а M
— точка пересечения медиан.
По формуле Лейбница (см. задачу 7259)
0\leqslant OM^{2}=\frac{1}{3}(OA^{2}+OB^{2}+OC^{2})-\frac{1}{9}(BC^{2}+AC^{2}+AB^{2})=R^{2}-\frac{1}{9}(a^{2}+b^{2}+c^{2}),
поэтому
a^{2}+b^{2}+c^{2}\leqslant9R^{2}~\Rightarrow~(a^{2}+b^{2}+c^{2})R\leqslant9R^{3}.
В то же время, из неравенства
\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\leqslant\frac{3\sqrt{3}}{8}
(см. задачу 1415а), применив теорему синусов, получаем
abc=2R\sin\alpha\cdot2R\sin\beta\cdot2R\sin\gamma=8R^{3}\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\leqslant
\leqslant~8R^{3}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{8}=3\sqrt{3}R^{3}~\Rightarrow~abc\sqrt{3}\leqslant9R^{3}.
Следовательно,
(a^{2}+b^{2}+c^{2})R+abc\sqrt{3}\leqslant9R^{3}+9R^{3}=18R^{3}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2002, № 4, задача 2625, с. 253