16189. В треугольнике со сторонами a
, b
, c
и полупериметром p
известно, что
\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}+\frac{ab}{a+b}=p.
Докажите, что этот треугольник равносторонний.
Решение. Из неравенств
\frac{a+b}{2}\geqslant\frac{2ab}{a+b},~\frac{b+c}{2}\geqslant\frac{2bc}{b+c},~\frac{c+a}{2}\geqslant\frac{2ca}{c+a}
(см. задачу 3399) получаем
2p=a+b+c=\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}\geqslant\frac{2ab}{a+b}+\frac{2bc}{b+c}+\frac{2ca}{c+a},
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда a=b=c
. Отсюда следует утверждение задачи.