16190. Пусть r
и S
— радиус вписанной окружности и площадь остроугольного треугольника с углами, равными \alpha
, \beta
и \gamma
. Докажите, что
(\sqrt{\ctg\alpha}+\sqrt{\ctg\beta}+\sqrt{\ctg\gamma})^{2}\leqslant\frac{S}{r^{2}}.
Решение. Пусть стороны данного треугольника, противолежащие углам \alpha
, \beta
и \gamma
, равны a
, b
и c
соответственно, p
— полупериметр треугольника, R
— радиус описанной окружности.
По теореме синусов \sin\alpha=\frac{a}{2R}
, поэтому
\ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc\sin\alpha}=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc\cdot\frac{a}{2R}}=\frac{R}{abc}(b^{2}+c^{2}-a^{2}).
Аналогично,
\ctg\beta=\frac{R}{abc}(c^{2}+a^{2}-b^{2}),~\ctg\gamma=\frac{R}{abc}(a^{2}+b^{2}-c^{2}).
Теперь достаточно доказать, что
\frac{R}{abc}(\sqrt{b^{2}+c^{2}-a^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}-b^{2}}+\sqrt{a^{2}+b^{2}-c^{2}})^{2}\leqslant\frac{S}{r^{2}},
или
(\sqrt{b^{2}+c^{2}-a^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}-b^{2}}+\sqrt{a^{2}+b^{2}-c^{2}})^{2}\leqslant
\leqslant\frac{Sabc}{r^{2}R}=\frac{S\cdot4RS}{r^{2}R}=4\cdot\frac{S^{2}}{r^{2}}=(2p)^{2}=(a+b+c)^{2},
или
\sqrt{b^{2}+c^{2}-a^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}-b^{2}}+\sqrt{a^{2}+b^{2}-c^{2}}\leqslant a+b+c.
Последнее неравенство следует из задачи 13678 или из задачи 16220.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2002, № 6, задача 2662 (2001, 337), с. 407