13678. Пусть a
, b
и c
— стороны нетупоугольного треугольника, p
— полупериметр. Докажите, что
\sqrt{b^{2}+c^{2}-a^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}-b^{2}}+\sqrt{a^{2}+b^{2}-c^{2}}\leqslant2p.
Решение. Поскольку треугольник нетупоугольный, каждое выражение, стоящие под знаком квадратного корня, неотрицательно (см. задачу 4004).
Среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не больше их среднего квадратичного (см. задачу 3399), поэтому
\frac{\sqrt{b^{2}+c^{2}-a^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}-b^{2}}}{2}\leqslant\sqrt{\frac{(b^{2}+c^{2}-a^{2})+(c^{2}+a^{2}-b^{2})}{2}}=c.
Аналогично,
\frac{\sqrt{b^{2}+c^{2}-a^{2}}+\sqrt{a^{2}+b^{2}-c^{2}}}{2}\leqslant b,~\frac{\sqrt{c^{2}+a^{2}-b^{2}}+\sqrt{a^{2}+b^{2}-c^{2}}}{2}\leqslant a.
Сложив эти три неравенства, получим
\sqrt{b^{2}+c^{2}-a^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}-b^{2}}+\sqrt{a^{2}+b^{2}-c^{2}}\leqslant c+b+a=2p.
Что и требовалось доказать.