16193. Равносторонний треугольник со стороной 1 разбит на n
треугольников. Докажите, что сумма квадратов сторон всех треугольников разбиения не меньше 3.
Решение. Пусть a_{i}
, b_{i}
и c_{i}
— стороны i
-го треугольника разбиения, а S_{i}
— его площадь (i=1,\dots,n
). Тогда (см. задачу 6903)
a_{i}^{2}+b_{i}^{2}+c_{i}^{2}\geqslant4S_{i}\sqrt{3}.
Сложив все эти неравенства и учитывая что площадь исходного равностороннего треугольника равна \frac{\sqrt{3}}{4}
, получим, что для суммы \Sigma
квадратов сторон всех треугольников разбиения верно неравенство
\Sigma\geqslant4\sqrt{3}(S_{1}+S_{2}+\dots+S_{n})=4\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}=3.
Что и требовалось доказать.
Источник: Латвийские математические олимпиады. — 1997
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2002, № 7, задача 2, с. 427