16197. Углы при вершинах A
, B
и C
треугольника ABC
равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Известно, что \tg\alpha:\tg\beta:\tg\gamma=1:2:3
. Найдите отношение AC:AB
.
Ответ. 2\sqrt{2}:3
.
Решение. Из условия следует, что \tg\beta=2\tg\alpha
и \tg\gamma=3\tg\alpha
. Подставив эти выражения в известную формулу
\tg\alpha+\tg\beta+\tg\gamma=\tg\alpha\tg\beta\tg\gamma
(см. задачу 3277), получим
6\tg\alpha=6\tg^{3}\alpha~\Leftrightarrow~\tg\alpha(\tg\alpha-1)(\tg\alpha+1)=0.
Поскольку \tg\alpha\ne0
(иначе \alpha=0^{\circ}
) и \tg\alpha\ne-1
(так как в этом случае все углы треугольника были бы больше 90^{\circ}
), то \tg\alpha=1
, поэтому
\alpha=45^{\circ}~\mbox{и}~\tg\beta=2.
Пусть CH
— высота треугольника ABC
. Из прямоугольных треугольников AHC
и BHC
AH=CH\ctg\alpha=CH,~BH=CH\ctg\beta=\frac{1}{2}CH,~AC=\frac{CH}{\sin\alpha}=CH\sqrt{2}.
Тогда
AB=AH+BH=CH+\frac{1}{2}CH=\frac{3}{2}CH.
Следовательно,
\frac{AC}{AB}=\frac{CH\sqrt{2}}{\frac{3}{2}CH}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 1996-1997
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2003, № 1, задача 4 (2000, с. 452-453), с. 34