16200. Стороны треугольника равны a
, b
и c
, проведённые к ним медианы равны m_{a}
, m_{b}
и m_{c}
, проведённые к ним высоты равны h_{a}
, h_{b}
и h_{c}
, а площадь треугольника равна S
. Докажите, что
a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant4\sqrt{3}S\cdot\max\left(\frac{m_{a}}{h_{a}},\frac{m_{b}}{h_{b}},\frac{m_{c}}{h_{c}}\right).
Решение. Без ограничения общности будем считать, что
\max\left(\frac{m_{a}}{h_{a}},\frac{m_{b}}{h_{b}},\frac{m_{c}}{h_{c}}\right)=\frac{m_{a}}{h_{a}}.
Поскольку (см. задачу 4014)
m_{a}\frac{1}{2}\sqrt{2b^{2}+2c_{2}-a^{2}}~\mbox{и}~S=\frac{1}{2}ah_{a},
то
a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant4\sqrt{3}S\cdot\mbox{max}\left(\frac{m_{a}}{h_{a}},\frac{m_{b}}{h_{b}},\frac{m_{c}}{h_{c}}\right)~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~a\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}\leqslant\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{\sqrt{3}}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~3a^{2}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})\leqslant(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~6a^{2}b^{2}+6a^{2}c^{2}-3a^{4}\leqslant a^{4}+b^{4}+c^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~4a^{4}+b^{4}+c^{4}-4a^{2}b^{2}-4a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}\geqslant0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(b^{2}+c^{2}-2a^{2})^{2}\geqslant0.
Отсюда следует нужное неравенство.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2003, № 4, задача 2732 (2002, с. 178), с. 243