16203. Точки X
и Y
лежат на сторонах соответственно BC
и CD
квадрата ABCD
. Известно, что XY=3
, AX=4
и AY=5
. Найдите сторону квадрата.
Ответ. \frac{16}{\sqrt{17}}
.
Решение. Треугольник AXY
прямоугольный с прямым углом при вершине X
, так как
AX^{2}+XY^{2}=16+9=25=AY^{2}
(см. задачу 1972). Тогда
\angle BAX=90^{\circ}-\angle AXB=\angle CXY,
поэтому прямоугольные треугольники ABX
и XCY
подобны.
Обозначим через a
сторону квадрата. Тогда из подобия
\frac{AB}{AX}=\frac{XC}{XY},~\mbox{или}~\frac{a}{4}=\frac{XC}{3},
откуда
XC=\frac{3}{4}a~\Rightarrow~BX=a-\frac{3}{4}a=\frac{1}{4}a.
По теореме Пифагора
AB^{2}+BX^{2}=AX^{2}~\mbox{или}~a^{2}+\frac{1}{16}a^{2}=16.
Следовательно,
a^{2}=\frac{16\cdot16}{17}~\Rightarrow~a=\frac{16}{\sqrt{17}}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2004, № 1, задача 3, с. 7