16206. Угол при вершине C
треугольника ABC
равен 120^{\circ}
, стороны AC
и BC
равны 6 и 2. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины C
.
Ответ. \frac{3}{2}
.
Решение. Первый способ. Пусть CD
— биссектриса треугольника ABC
, а прямая, проведённая через вершину B
параллельно CD
, пересекает прямую AC
в точке E
. Тогда
\angle BEA=\angle DCA=\frac{1}{2}\angle ACB=60^{\circ}=180^{\circ}-120^{\circ}=\angle BCE.
Значит, треугольник BCE
равносторонний. Тогда
BE=CE=2,~AE=AC+CE=6+2=8.
Из подобия треугольников ADC
и ABE
получаем \frac{CD}{BE}=\frac{AC}{AE}
. Следовательно,
DC=\frac{AC\cdot BE}{AE}=\frac{6\cdot2}{8}=\frac{3}{2}.
Второй способ. По формуле для биссектрисы треугольника (см. задачу 4021) находим, что
CD=\frac{2AC\cdot BC\cos\frac{1}{2}\angle ACB}{AC+BC}=\frac{2\cdot6\cdot2\cos60^{\circ}}{6+2}=\frac{3}{2}.
Источник: Хорватские математические олимпиады. — 2003
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2004, № 2, задача 10, с. 69