16207. Пусть R
и r
— радиусы соответственно описанной и вписанной окружностей треугольника ABC
, а R'
и r'
— радиусы соответственно описанной и вписанной окружностей треугольника A'B'C'
. Докажите, что если Rr'=R'r
и \angle C'=\angle C
, то эти треугольники подобны.
Решение. Пусть углы при вершинах A
, B
и C
треугольника ABC
равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно, а углы при вершинах A'
, B'
и C'
треугольника A'B'C'
равны \alpha'
, \beta'
и \gamma'
соответственно. Тогда (см. задачу 3238)
\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=1+\frac{R}{r}~\mbox{и}~\cos\alpha'+\cos\beta'+\cos\gamma'=1+\frac{R'}{r'},
а так как \gamma=\gamma'
и
Rr'=R'r~\Rightarrow~\frac{R}{r}=\frac{R'}{r'},
то
\cos\alpha+\cos\beta=\cos\alpha'+\cos\beta'~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}=2\cos\frac{\alpha'+\beta'}{2}\cos\frac{\alpha'-\beta'}{2}.
Поскольку
\alpha+\beta=180^{\circ}-\gamma=180^{\circ}-\gamma'=\alpha'+\beta',
то
\cos\frac{\alpha+\beta}{2}=\cos\frac{\alpha'+\beta'}{2}.
Значит,
\cos\frac{\alpha-\beta}{2}=\cos\frac{\alpha'-\beta'}{2}.
Без ограничения общности можно считать, что \alpha\geqslant\beta
и \alpha'\geqslant\beta'
, а так как
\alpha+\beta=\alpha'+\beta',
то \alpha=\alpha'
и \beta=\beta'
. Следовательно, треугольники ABC
и A'B'C'
подобны. Что и требовалось доказать.
Источник: Корейские математические олимпиады. —
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2004, № 2, задача 1 (2001, с. 422-423), с. 89