16208. Найдите наибольший (острый) угол между медианами прямоугольного треугольника, проведёнными из вершин острых углов.
Ответ. \arctg\frac{3}{4}
.
Решение. Пусть M
и N
— середины катетов AB=a
и AC=b
прямоугольного треугольника ABC
, G
— точка пересечения медиан, \angle BGM=\theta
, \angle AMC=\varphi
, \angle CBN=\psi
. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\theta=\angle BGM=\varphi-\psi=(90^{\circ}-\angle CAM)-\psi\lt90^{\circ},
т. е. BGM
— острый угол. При этом
\tg\varphi=\frac{AC}{CM}=\frac{b}{\frac{a}{2}}=\frac{2b}{a},~\tg\psi=\frac{CN}{BC}=\frac{\frac{b}{2}}{a}=\frac{b}{2a}.
По формуле разности тангенсов двух углов получаем
\tg\theta=\tg(\varphi-\psi)=\frac{\tg\varphi-\tg\psi}{1+\tg\varphi\tg\psi}=\frac{\frac{2b}{a}-\frac{b}{2a}}{1+\frac{2b}{a}\cdot\frac{b}{2a}}=\frac{4ab-ab}{2(a^{2}+b^{2})}=\frac{3ab}{2(a^{2}+b^{2})}=
=\frac{3}{2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)}\leqslant\frac{3}{2\cdot2}=\frac{3}{4}
(см. задачу 3399), причём равенство достигается тогда и только тогда, когда a=b
, т. е. тогда и только тогда, когда прямоугольный треугольник ABC
равнобедренный.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2004, № 3, задача M78, с. 136