16216. Даны окружность \Gamma
и точка H
внутри неё. Докажите, что существует окружность, проходящая через середины сторон любого вписанного в окружность \Gamma
треугольника, причём H
— его ортоцентр.
Решение. Пусть O
— центр окружности \Gamma
радиуса R
, а ABC
— произвольный треугольник, вписанный в эту окружность. Поскольку O
и H
— фиксированные точки, то точка G
пересечения медиан треугольника ABC
тоже фиксирована, так как \overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OH}
(см. задачу 5044).
Треугольник с вершинами в серединах сторон треугольника ABC
, гомотетичен треугольнику ABC
с центром гомотетии G
и коэффициентом -\frac{1}{2}
. При этой гомотетии окружность \Gamma
, описанная около треугольника ABC
переходит в окружность с центром O'
радиуса \frac{1}{2}R
, проходящую через середины сторон треугольника ABC
, причём \overrightarrow{GO'}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GO}
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. —
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2004, № 7, задача 43, с. 424