16217. Точка
O
лежит внутри треугольника
ABC
, причём
AB+BO=AC+CO
;
P
— произвольная точка стороны
BC
; точки
Q
и
R
лежат на сторонах
AB
и
AC
соответственно, причём
PQ\parallel CO
и
PR\parallel BO
. Докажите, что периметр четырёхугольника
AQPR
не зависит от положения точки
P
на отрезке
BC
.
Решение. На продолжении стороны
AB
за точку
B
отложим отрезок
BD=BO
, а на продолжении стороны
AC
за точку
C
— отрезок
CE=CO
. Тогда
AD=AB+BD=AB+BO=AC+CO=AC+CE=AE.

Поскольку
BD=BO
и
CE=CO
, то биссектрисы углов
DBO
,
ECO
и
DAE
лежат на серединных перпендикулярах к отрезкам
DO
,
EO
и
DE
соответственно. Значит, эти три биссектрисы пересекаются в центре
I
описанной окружности треугольника
DOE
.
Пусть
F
,
G
,
H
и
K
— проекции точки
I
на прямые
DB
,
BO
,
OC
и
CE
соответственно. Тогда
IF=IK=IH~\mbox{и}~IF=IG~\Rightarrow~IG=IF=IK=IH.

Пусть
\Gamma
— окружность с центром
I
и радиусом
IF
. Ясно, что эта окружность касается прямых
DB
,
BO
,
OC
и
CE
в точках
F
,
G
,
H
и
K
соответственно. Пусть
X
и
Y
точки пересечения
CO
и
BO
со сторонами
AB
и
AC
соответственно. Тогда
\Gamma
— общая вневписанная окружность треугольников
ABY
и
ACX
.
Тогда (см. задачу 1750)
AB+BY+YA=2AF~\mbox{и}~AX+XC+CA=2AK,

а так как
AF=AK
, то
AB+BY+YA=AX+XC+CA~\Rightarrow

\Rightarrow~(AB-AX)+BY=CX+(AC-AY)~\Rightarrow~BX+BY=CX+CY.

Обозначим
\frac{BP}{BC}=x
. Тогда
\frac{PC}{BC}=1-x
, а так как
PQ\parallel CX
, то
\frac{XQ}{XB}=\frac{CP}{CB}=1-x~\mbox{и}~\frac{PQ}{CX}=\frac{BP}{BC}=x.

Значит,
XQ=(1-x)XB~\mbox{и}~PQ=xCX.

Аналогично из параллельности
PR
и
BY
получаем
\frac{RY}{CY}=\frac{PB}{CB}=x~\mbox{и}~\frac{PR}{BY}=\frac{PC}{BC}=1-x,

откуда,
RY=xCY~\mbox{и}~PR=(1-x)BY.

Тогда
XQ+QP+PR+RY=(1-x)XB+xCX+(1-x)BY+xCY=

=XB+BY+x(CX+CY-BX-BY),

а так как
BX+BY=CX+CY,

то
XQ+QP+PR+RY=XB+BY.

Прибавив
AX+AY
к обеим частям этого равенства, получим
(AX+XQ)+QR+PR+(RY+AY)=(AX+XB)+(AY+BY),

или
AQ+QP+PR+RA=(AX+XB)+AY+BY=AB+AY+BY.

Следовательно, периметр четырёхугольника
AQPR
не зависит от положения точки
P
на отрезке
BC
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2004, № 7, задача 2877 (2003, с. 464), с. 440