16229. Окружность \Gamma
с центром O
и радиусом R
описана около треугольника ABC
. К окружности \Gamma'
с центром O
и радиусом 2R
проведена касательная, параллельная стороне BC
, причём вершина A
лежит между этой касательной и прямой BC
. Аналогично определяются ещё две касательные к окружности \Gamma'
. Пусть проведённые касательные пересекаются в точках A'
, B'
и C'
, причём точка A
и A'
лежат по разные стороны от прямой BC
, и аналогично для точек B
, B'
и точек C
, C'
. Докажите, что прямые проходящие через середины параллельных сторон треугольников ABC
и A'B'C'
, пересекаются в одной точке.
Решение. Стороны треугольников ABC
и A'B'C'
соответственно параллельны, поэтому существует гомотетия, переводящая треугольник ABC
в треугольник A'B'C'
(см. задачу 5000). Значит, прямые AA'
, BB'
и CC'
пересекаются в центре P
гомотетии.
Пусть L
, M
и N
— середины сторон соответственно BC
, CA
и AB
треугольника ABC
, а L'
, M'
и N'
— середины сторон соответственно B'C'
, C'A'
и A'B'
треугольника A'B'C'
. Тогда при рассматриваемой гомотетии точки L
, M
и N
переходят в точки L'
, M'
и N'
соответственно. Следовательно, прямые LL'
, MM'
и NN'
пересекаются в центре P
гомотетии. Что и требовалось доказать.
Источник: Австрийские математические олимпиады. —
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2005, № 6, задача 3 (2003, с. 374-375), с. 377