1624. Через точку P
, лежащую на медиане CC_{1}
треугольника ABC
, проведены прямые AA_{1}
и BB_{1}
(точки A_{1}
и B_{1}
лежат на сторонах BC
и CA
соответственно). Докажите, что A_{1}B_{1}\parallel AB
.
Решение. Первый способ. Пусть A_{2}
— середина отрезка A_{1}B
. Тогда A_{1}P
— средняя линия треугольника CC_{1}A_{2}
. Из равенств
\frac{CA_{1}}{A_{1}A_{2}}=\frac{CP}{PC_{1}},~\frac{A_{1}A_{2}}{A_{1}B}=\frac{1}{2},
следует, что
\frac{CA_{1}}{A_{1}B}=\frac{CP}{2PC_{1}}.
Аналогично докажем, что
\frac{CB_{1}}{B_{1}A}=\frac{CP}{2PC_{1}}.
Поэтому
\frac{CB_{1}}{B_{1}A}=\frac{CA_{1}}{A_{1}B}.
Следовательно, A_{1}B_{1}\parallel AB
.
Второй способ. Проведём через вершину C
прямую, параллельную AB
. Пусть M
и K
— точки её пересечения с продолжениями отрезков AA_{1}
и BB_{1}
соответственно. Тогда
CM=AC_{1}\cdot\frac{CP}{PC_{1}}=BC_{1}\cdot\frac{CP}{PC_{1}}=CK.
Поэтому
\frac{CA_{1}}{A_{1}B}=\frac{CM}{AB}=\frac{CK}{AB}=\frac{CB_{1}}{B_{1}A}.
Следовательно, A_{1}B_{1}\parallel AB
.
Третий способ. Поскольку отрезки AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
пересекаются в одной точке, то по теореме Чевы (см. задачу 1621)
\frac{CB_{1}}{B_{1}A}\cdot\frac{AC_{1}}{C_{1}B}\cdot\frac{BA_{1}}{A_{1}C}=1,
а так как \frac{AC_{1}}{C_{1}B}=1
, то
\frac{CB_{1}}{B_{1}A}\cdot\frac{BA_{1}}{A_{1}C}=1,
откуда находим, что
\frac{CB_{1}}{B_{1}A}=\frac{CA_{1}}{A_{1}B}.
Следовательно, A_{1}B_{1}\parallel AB
.
Примечание. Утверждение верно и для случая, когда точка P
лежит на продолжении медианы CC_{1}
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 1.4, с. 12