16240. Обозначим через p
полупериметр треугольника ABC
. Точки E
и F
, удалённые от вершины C
на расстояние, равное p
, лежат на прямой AB
. Докажите, что описанная окружность треугольника EFC
и вневписанная окружность треугольника ABC
, противоположная вершине A
, имеют ровно одну общую точку.
Решение. При инверсии относительно окружности с центром C
и радиусом p
точки E
и F
, лежащие на окружности инверсии, останутся на месте, а описанная окружность \Gamma
треугольника ECF
, проходящая через центр C
инверсии, перейдёт в прямую EF
.
Пусть прямые CA
и CB
касаются вневписанной окружности \gamma
треугольника ABC
, противолежащей вершине C
, в точке M
и N
соответственно, отрезка AB
— в точке K
, а D
— отличная от K
точка пересечения луча CK
с окружностью инверсии.
Поскольку CM=CN=p
(см. задачу 1750) и CD=CM=p
, точки M
, N
и D
при рассматриваемой инверсии остаются на месте, прямые CM
, CN
и CK
, проходящие через центр инверсии, переходят в себя, окружность \gamma
переходит в себя (так как три её точки M
, N
и D
, не лежащие на одной прямой, остаются на месте), а точка K
касания прямой EF
с окружностью \gamma
— в точку касания L
окружностей \Gamma
и \gamma
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Югославские математические олимпиады. — 2002
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2006, № 8, задача 2 (2005, с. 373-374), с. 506