16241. Точка M
— середина основания AB
равнобедренной трапеции ABCD
, E
— точка пересечения DM
и AC
. Известно, что M
— центр описанной окружности трапеции ABCD
, а AD=DE
. Найдите угол DAB
.
Ответ. 72^{\circ}
.
Решение. Пусть \smile XY
— градусная мера меньшей дуги XY
окружности. Продолжим радиус DM
до пересечения с описанной окружностью трапеции в точке D'
, отличной от D
. Обозначим
\smile BC=\smile DA=\smile D'B=\alpha,~\smile CB=\beta.
Тогда (см. задачу 26)
\frac{\beta}{2}=\angle DAC=\angle AED=\frac{\smile DA+\smile D'C}{2}=\frac{\smile DA+\smile D'B+\smile BC}{2}=\frac{3\alpha}{2},
Откуда \beta=3\alpha
.
Кроме того,
\smile BC+\smile CD+\smile DA=180^{\circ},~\mbox{или}~2\alpha+\beta=180^{\circ},~\mbox{или}~5\alpha=180^{\circ},
откуда \alpha=36^{\circ}
. Тогда \beta=108^{\circ}
. Следовательно,
\angle DAB=\angle DAC+\angle CAD=\frac{\beta}{2}+\frac{\alpha}{2}=54^{\circ}+18^{\circ}=72^{\circ}.
Источник: Бельгийские математические олимпиады. —
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2006, № 8, задача 1 (2005, с. 374-375), с. 506