16257. Диагонали A_{1}A_{4}
, A_{2}A_{5}
и A_{3}A_{6}
выпуклого шестиугольника A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}A_{6}
пересекаются в точке K
. Докажите, что если A_{2}A_{1}=A_{2}A_{3}=A_{2}K
, A_{4}A_{3}=A_{4}A_{5}=A_{4}K
и A_{6}A_{5}=A_{6}A_{1}=A_{6}K
, то шестиугольник вписанный.
Решение. Заметим, что прямые A_{2}A_{4}
, A_{4}A_{6}
и A_{6}A_{2}
— серединные перпендикуляры к отрезкам KA_{3}
, KA_{5}
и KA_{1}
соответственно.
Пусть P
, Q
и R
— середины отрезков A_{3}K
, A_{5}K
и A_{1}K
соответственно. Тогда треугольник A_{2}PK
подобен треугольнику A_{6}QK
по двум углам, и треугольник A_{2}PK
равен треугольнику A_{2}PA_{3}
. Значит,
\angle A_{3}A_{6}A_{4}=\angle A_{5}A_{2}A_{4}=\angle A_{3}A_{2}A_{4}.
Тогда четырёхугольник A_{2}A_{3}A_{4}A_{6}
вписанный (см. задачу 12), и точка A_{3}
лежит на описанной окружности треугольника A_{2}A_{4}S_{6}
. Аналогично докажем, что точки A_{5}
и A_{1}
лежат на этой окружности. Следовательно, шестиугольник A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}A_{6}
вписанный. Что и требовалось доказать.
Источник: Белорусская республиканская математическая олимпиада. — 2002
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2007, № 7, задача 3 (2006, с. 439), с. 423