16262. Точка P
лежит на биссектрисе AD
прямоугольного треугольника ABC
с прямым углом при вершине B
, а точка M
, отличная от A
и B
, лежит на катете AB
. Прямые CP
и MP
пересекают стороны AB
и AC
в точках E
и N
соответственно. Известно, что \angle MPB=\angle PCN
и \angle NPC=\angle MBP
. Найдите отношение площади треугольника APC
к площади четырёхугольника ACDE
.
Ответ. \frac{1}{2}
.
Решение. Рассмотрим для начала произвольный треугольник ABC
(а не обязательно прямоугольный). Поскольку \angle AMP=\angle MBP+\angle MPB=\angle CPN+\angle NCP=\angle ANP
, треугольник AMN
равнобедренный (рис. 1), а AP
— его биссектриса, а потому и медиана. Из подобия треугольников MBP
и NPC
следует, что
\frac{BP}{PC}=\frac{MP}{NC}=\frac{PN}{NC},
а
\angle BPC=180^{\circ}-\angle BPM-\angle CPN=180^{\circ}-\angle PCN-\angle CPN=\angle PNC,
значит, треугольники BPC
и PNC
тоже подобны. Следовательно, \angle BCP=\angle PCN
и \angle PBC=\angle NPC=\angle MBP
, т. е. BP
и CP
— биссектрисы треугольника ABC
, а P
— точка пересечения биссектрис.
Первый способ. Отразим точки D
и E
относительно биссектрис CE
и AD
соответственно, получим точки D'
и E'
на стороне AC
(рис. 2). В случае прямого угла при вершине B
получаем
\angle APC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ABC=135^{\circ}~\mbox{и}~\angle DPC=\angle D'PC=\angle EPA=\angle E'PA=45^{\circ}.
Значит, у треугольников D'PE'
и DPE
равны соответствующие стороны, а углы в сумме составляют 180^{\circ}
, следовательно, их площади равны. А площади пар треугольников DPC
и D'PC
, EPC
и E'PC
равны в силу симметрии этих треугольников, значит, S_{ACDE}=2S_{\triangle APC}
, т. е. \frac{S_{\triangle APC}}{S_{ACDE}}=\frac{1}{2}
.
Второй способ. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
. Площадь четырёхугольника ACDE
равна
S_{ACDE}=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot CE\cdot\sin\angle APC,
а площадь треугольника APC
—
S_{\triangle APC}=\frac{1}{2}\cdot AP\cdot PC\cdot\sin\angle APC,
т. е. искомое отношение
\frac{S_{\triangle APC}}{S_{ACDE}}=\frac{AP}{AD}\cdot\frac{PC}{CE}.
Биссектрисы AD
и CE
делятся точкой P
их пересечения в отношениях \frac{b+c}{a}
и \frac{a+b}{c}
соответственно (см. задачу 2906). Тогда \frac{AP}{AD}=\frac{b+c}{a+b+c}
и \frac{CP}{CE}=\frac{a+b}{a+b+c}
, значит,
\frac{S_{\triangle APC}}{S_{ACDE}}=\frac{(a+b)(b+c)}{(a+b+c)^{2}}.
Если треугольник ABC
прямоугольный, то b^{2}=a^{2}+c^{2}
и
\frac{S_{\triangle APC}}{S_{ACDE}}=\frac{b^{2}+ac+b(a+c)}{b^{2}+a^{2}+c^{2}+2ac+2b(a+c)}=\frac{b^{2}+ac+b(a+c)}{2b^{2}+2ac+2b(a+c)}=\frac{1}{2}.
Источник: Таиландские математические олимпиады. — 2003
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2008, № 3, задача 9 (2007, с. 277-278), с. 159