16267. На сторонах треугольника ABC
построены вне его равнобедренные треугольники BMC
, CNA
и APB
с основаниями BC
, AC
и AB
соответственно. Докажите, что если сумма углов BMC
, CNA
и APB
равна 360^{\circ}
, то углы треугольника MNP
не зависят от треугольника ABC
.
Решение. Пусть G
— точка, симметричная вершине A
относительной прямой PN
. Тогда
PN\perp AG,~GN=AN,~GP=AP,
поэтому
GN=NC~\mbox{и}~GP=PG.
Из равнобедренных треугольников ANG
и CNG
получаем
\angle AGN=\angle90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle ANG,~\angle NGC=\angle90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle GNC.
Значит,
\angle AGC=\angle AGN+\angle NGC=\left(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle ANG\right)+\left(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle GNC\right)=
=\angle180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle ANG+\angle GNC)=\angle180^{\circ}-\frac{1}{2}\angle ANC.
Аналогично,
\angle AGB=\angle180^{\circ}-\frac{1}{2}\angle APB.
Значит,
\angle BGC=\angle360^{\circ}-\angle AGB-\angle AGC=\left(\angle180^{\circ}-\frac{1}{2}\angle APB\right)-
-\left(\angle180^{\circ}-\frac{1}{2}\angle ANC\right)=\frac{1}{2}(\angle ANC+\angle APB)=
=\frac{1}{2}(360^{\circ}-\angle BMC)=180^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BMC.
Точка M
равноудалена от точек B
и C
, и при этом
\angle BGC=180^{\circ}-\frac{1}{2}BMC,
поэтому (см. примечание к задаче 2900) M
— центр окружности, описанной около треугольника BGC
.
Точки M
и P
равноудалены от концов отрезка BG
, поэтому прямая MP
— серединный перпендикуляр к этому отрезку. Тогда MP\perp GB
, а так как PN\perp AG
, то
\angle MPN=180^{\circ}-\angle AGB=180^{\circ}-\left(\angle180^{\circ}-\frac{1}{2}\angle APB\right)=\frac{1}{2}\angle APB.
Аналогично,
\angle PMN=\frac{1}{2}BMC~\mbox{и}~\angle MNP=\frac{1}{2}CNA.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2008, № 6, задача 7, с. 353