16278. а) Точка D
— середина основания BC
равнобедренного треугольника ABC
. Точки P
и Q
лежат на отрезках AD
и AB
соответственно, причём PQ=PC
, и точка Q
отлична от B
. Докажите, что \angle PQC=\frac{1}{2}\angle BAC
.
б) Угол при вершине A
ромба ABCD
равен 60^{\circ}
. Точки F
, G
и H
лежат на отрезках AD
, CA
и DC
соответственно, причём DFGH
— параллелограмм. Докажите, что треугольник BHF
равносторонний.
Решение. а) Заметим, что PB=PC=PQ
. Обозначим углы при основаниях равнобедренных треугольников PQB
, PBC
и PCQ
через x
, y
и z
соответственно. Из треугольника BCQ
получаем
(x+y)+(y+z)+(z+x)=180^{\circ}~\Rightarrow~z=90^{\circ}-(x+y)~\Rightarrow
\Rightarrow~\angle PQC=z=90^{\circ}-(x+y)=90^{\circ}-\angle ABD=\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC.
Что и требовалось доказать.
б) Из параллельности GH
и AD
получаем, что \angle CGH=\angle CAD
, а так как ABCD
— ромб, то \angle CAD=\angle ACD
. Значит,
\angle CGH=\angle ACD=\angle GCH~\Rightarrow~CH=GH=FD.
Далее см. задачу 1386.
Источник: Соревнование им. Н. Х. Абеля (Норвегия). — 2004-2005
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2009, № 4, задача 3 (2008, с. 216-217), с. 228