16290. Полуокружность с диаметром AB=5
пересекает сторону CD
прямоугольника ABCD
в двух точках. Одна из них удалена от точки A
на расстояние 4. Найдите площадь прямоугольника ABCD
.
Ответ. 12.
Решение. Пусть M
— точка на стороне CD
прямоугольника ABCD
, для которой MA=4
. Точка M
лежит на окружности с диаметром AB
, поэтому \angle AMB=90^{\circ}
. По теореме Пифагора находим, что MB=3
.
Первый способ. Опустим высоту MH
прямоугольного треугольника AMB
. Тогда (см. задачу 1967)
CB=MH=\frac{MA\cdot MB}{AB}=\frac{4\cdot3}{5}=\frac{12}{5}.
Следовательно,
S_{ABCD}=AB\cdot CB=5\cdot\frac{12}{5}=12.
Второй способ. Заметим, что площадь прямоугольника ABCD
вдвое больше площади треугольника AMB
, т. е. равна 2\cdot3\cdot4=12
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2010, № 4, задача 9 (2009, с. 354-356), с. 200