16291. Точки A
и B
лежат на сторонах соответственно RS
и SP
прямоугольника PQRS
, площадь которого равна 10. Площадь треугольника ABQ
равна 4. Найдите наименьшее возможное значение суммы PB+AR
.
Ответ. 2\sqrt{2}
.
Решение. Обозначим QR=PS=x
, PB=y
и AR=z
. Тогда
RS=PQ=\frac{10}{x},~BS=x-y,~AS=RS-AR=\frac{10}{x}-z.
Сумма площадей прямоугольных треугольников ARQ
, ASB
и BPQ
равна 10-4=6
, т. е.
\frac{xz}{2}+\frac{\left(\frac{10}{x}-z\right)(x-y)}{2}+\frac{10y}{2x}=6,
или
xz+\left(10-\frac{10y}{x}-xz+yz\right)+\frac{10y}{x}=12,
откуда yz=2
.
Следовательно (см. задачу 3399),
PB+AR=y+x\geqslant2\sqrt{xz}=2\sqrt{2},
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда y=z=\sqrt{2}
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2010, № 4, задача 12 (2009, с. 354-356), с. 202