16303. Точка I
— центр вписанной окружности радиуса r
треугольника ABC
, p
— полупериметр треугольника. Докажите, что
\frac{3}{4}+\frac{r}{IA}+\frac{r}{IB}+\frac{r}{IC}\leqslant\frac{p^{2}}{12r^{2}}.
Решение. Обозначим углы при вершинах A
, B
и C
треугольника ABC
через \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Пусть вписанная окружность треугольника ABC
касается стороны AB
в точке M
.
Из прямоугольного треугольника AMI
получаем
IA=\frac{IM}{\sin\angle IAM}=\frac{r}{\sin\frac{\alpha}{2}}.
Аналогично,
IB=\frac{r}{\sin\frac{\beta}{2}},~IC=\frac{r}{\sin\frac{\gamma}{2}}.
Пусть R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
. Тогда (см. задачи 3226а и 3587)
p^{2}\geqslant\frac{27}{2}Rr\geqslant\frac{27}{2}\cdot2r\cdot r=27r^{2}~\Rightarrow~\frac{p^{2}}{r^{2}}\geqslant27~\Rightarrow~\frac{p^{2}}{12r^{2}}\geqslant\frac{9}{4},
а так как
\sin\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\beta}{2}+\sin\frac{\gamma}{2}\leqslant\frac{3}{2}
(см. задачу 4157б), то
\frac{3}{4}+\frac{r}{IA}+\frac{r}{IB}+\frac{r}{IC}=\frac{3}{4}+\sin\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\beta}{2}+\sin\frac{\gamma}{2}\leqslant\frac{3}{4}+\frac{3}{2}=\frac{9}{4}\leqslant\frac{p^{2}}{12r^{2}}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Таиландские математические олимпиады. — 2006
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2011, № 2, задача 7 (2010, с. 93-84), с. 91