3226. Пусть R
— радиус описанной окружности треугольника, r
— радиус его вписанной окружности, а p
— полупериметр треугольника. Докажите, что \frac{27}{2}Rr\leqslant p^{2}\leqslant\frac{27R^{2}}{4}
.
Решение. Пусть a
, b
и C
— стороны треугольника, S
— его площадь. Тогда S=pr
и S=\frac{abc}{4R}
, поэтому pr=\frac{abc}{4R}
. Значит,
Rr=\frac{abc}{4p}\leqslant\frac{1}{4p}\cdot\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{3}=\frac{1}{4p}\cdot\frac{(2p)^{3}}{27}=\frac{2p^{2}}{27}.
Следовательно, p^{2}\geqslant\frac{27}{2}Rr
.
Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, m_{a}
, m_{b}
, m_{c}
— медианы треугольника, проведённые из вершин A
, B
и C
соответственно, M
— точка пересечения медиан. Тогда
AO^{2}+BO^{2}+CO^{2}=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MO})^{2}+(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MO})^{2}+(\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MO})^{2}=
=AM^{2}+BM^{2}+CM^{2}+2\overrightarrow{MO}\cdot(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CM})+3MO^{2}=
=AM^{2}+BM^{2}+CM^{2}+2\overrightarrow{MO}\cdot\overrightarrow{0}+3MO^{2}=
=AM^{2}+BM^{2}+CM^{2}+3MO^{2}\geqslant AM^{2}+BM^{2}+CM^{2},
или 3R^{2}\geqslant\frac{4}{9}(m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2})
. Тогда (см. задачу 4047)
3R^{2}\geqslant\frac{4}{9}(m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2})=\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{3}(m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2})=
=\frac{1}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geqslant\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}(a+b+c)^{2}=\frac{1}{9}\cdot4p^{2}=\frac{4p^{2}}{9},
так как для любых чисел a
, b
и c
верно неравенство
a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant\frac{1}{3}(a+b+c)^{2}.
(Действительно,
a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant\frac{1}{3}(a+b+c)^{2}~\Leftrightarrow~3a^{2}+3b^{2}+3c^{2}\geqslant(a+b+c)^{2}~~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-2ac\geqslant0~~\Leftrightarrow~(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(a-c)^{2}\geqslant0.)
Следовательно, p^{2}\leqslant\frac{27R^{2}}{4}
.
Примечание. 1. Среднее геометрическое трёх неотрицательных чисел не больше их среднего геометрического. Учитывая равенство abc=4prR
(см. задачу 11293), получим, что
\sqrt[{3}]{{abc}}\leqslant\frac{a+b+c}{3}~\Leftrightarrow~abc\leqslant\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{3}~\Leftrightarrow~4prR\leqslant\frac{8p^{2}}{27}~\Leftrightarrow~27rR\leqslant2p^{2}.
2. См. также статью В.Дроздова «Неравенства для элементов треугольника», Квант, 2018, N9, с.40.