4047. Докажите, что отношение суммы квадратов медиан треугольника к сумме квадратов его сторон равно \frac{3}{4}
.
Указание. Квадрат медианы треугольника, проведённой к стороне a
, равен \frac{1}{4}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})
, где a
, b
и c
— стороны треугольника.
Решение. Пусть стороны треугольника равны a
, b
и c
. Если m
— медиана, проведённая к стороне a
, то
m^{2}=\frac{1}{4}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2}).
(см. задачу 4014). Это можно доказать, применив теорему о сумме квадратов диагоналей параллелограмма (предварительно достроив соответствующим образом треугольник до параллелограмма, см. задачу 4011). Аналогично для квадратов остальных двух медиан. Сложив три полученных равенства, получим требуемый результат.
Источник: Адамар Ж. Элементарная геометрия. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1948. — № 137, с. 127
Источник: Ефремовъ Д. Д. Новая геометрiя треугольника. — Одесса, 1902. — № 11, с. 24
Источник: Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. — М.: Учпедгиз, 1962. — , с. 28
Источник: Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. — М.: Советская наука, 1957. — № 1, с. 183
Источник: Пржевальский Е. Собрание геометрических теорем и задач. — М.: Типография Г. Лисснера и Д. Собко, 1909. — № 118, с. 84
Источник: Вступительный экзамен в МИИТ. — 1979
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 10.270, с. 177
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 169(2), с. 30
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 12.11(б), с. 290