4047. Докажите, что отношение суммы квадратов медиан треугольника к сумме квадратов его сторон равно \frac{3}{4}
.
Указание. Квадрат медианы треугольника, проведённой к стороне a
, равен \frac{1}{4}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})
, где a
, b
и c
— стороны треугольника.
Решение. Пусть стороны треугольника равны a
, b
и c
. Если m
— медиана, проведённая к стороне a
, то
m^{2}=\frac{1}{4}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2}).
(см. задачу 4014). Это можно доказать, применив теорему о сумме квадратов диагоналей параллелограмма (предварительно достроив соответствующим образом треугольник до параллелограмма, см. задачу 4011). Аналогично для квадратов остальных двух медиан. Сложив три полученных равенства, получим требуемый результат.