16308. Дан выпуклый четырёхугольник ABC
, в котором AB=AD
и CB=CD
. Биссектриса угла BDC
пересекает сторону BC
в точке L
, а диагональ BD
— в точке M
, причём BL=BM
. Найдите сумму 2\angle BAD+3\angle BCD
.
Ответ. 540^{\circ}
.
Решение. Обозначим \angle BAD=\theta
и \angle BCD=\varphi
. Нужно найти 3\theta+2\varphi
.
Заметим, что диагональ AC
— делит пополам углы BAD
и BCD
, поэтому
\angle CDB=\angle CBD=90^{\circ}-\frac{1}{2}\varphi,~\angle CDL=\frac{1}{2}\left(90^{\circ}-\frac{1}{2}\varphi\right)=45^{\circ}-\frac{1}{4}\varphi.
Из треугольников MBL
и DLC
находим, что
\angle BLM=90^{\circ}-\frac{1}{2}\left(90^{\circ}-\frac{\varphi}{2}\right)=45^{\circ}+\frac{\varphi}{4},
\angle DLC=180^{\circ}-\varphi-\left(45^{\circ}-\frac{1}{4}\varphi\right)=135^{\circ}-\frac{3}{4}\varphi.
Значит,
\angle ALD=180^{\circ}-\angle BLM-\angle DLC=
=180^{\circ}-\left(45^{\circ}+\frac{\varphi}{4}\right)-\left(135^{\circ}-\frac{3\varphi}{4}\right)=\frac{\varphi}{2}=\angle ACD,
поэтому четырёхугольник ALCD
вписанный (см. задачу 12). Следовательно,
\angle DLC=\angle DAC~\Rightarrow~135^{\circ}-\frac{3\varphi}{4}=\frac{\theta}{2}~\Rightarrow~3\theta+2\varphi=540^{\circ}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2011, № 2, задача 5 (2010, с. 215-216), с. 224