16310. Дан равнобедренный треугольник ABC
(AB=AC
). Прямая l
, параллельная BC
, проходит через вершину A
. Точки P
и Q
лежат на серединных перпендикулярах к сторонам AB
и AC
соответственно, причём PQ\perp BC
. Точки M
и N
лежат на прямой l
, причём углы APM
и AQN
прямые. Докажите, что
\frac{1}{AM}+\frac{1}{AN}\leqslant\frac{2}{AB}.
Решение. Пусть H
— проекция точек P
и Q
на прямую l
. Поскольку PH
и QH
— высоты прямоугольных треугольников соответственно APM
и AQN
, проведённые из вершин прямых углов, то (см. задачу 2728)
AP^{2}=AH\cdot AM~\mbox{и}~AQ^{2}=AH\cdot AN,
откуда
\frac{1}{AM}=\frac{AH}{AP^{2}}~\mbox{и}~\frac{1}{AN}=\frac{AH}{AQ^{2}}.
Обозначим \angle ABC=\angle ACB=\beta
. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника AB
(т. е. точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам AB
и AC
), R
— радиус этой окружности. Тогда
\angle OPQ=\angle ABC=\beta~\mbox{и}~\angle PQO=\angle ACB=\beta
(как углы с соответственно перпендикулярными сторонами),
\angle AOQ=180^{\circ}-\beta.
По теореме косинусов
AP^{2}=OP^{2}+OA^{2}-2OP\cdot OA\cos\beta=OP^{2}+R^{2}-2R\cdot OP\cos\beta=
=(OP-R)^{2}+2R\cdot OP(1-\cos\beta)=(OP-R)^{2}+4R\cdot OP\sin^{2}\frac{\beta}{2},
AQ^{2}=OA^{2}+OQ^{2}-2OA\cdot OQ\cos(180^{\circ}-\beta)=OP^{2}+R^{2}+2R\cdot OP\cos\beta=
=(OP-R)^{2}+2R\cdot OP(1+\cos\beta)=(OP-R)^{2}+4R\cdot OP\cos^{2}\frac{\beta}{2},
поэтому
AP^{2}\geqslant4R\cdot OP\sin^{2}\frac{\beta}{2}~\mbox{и}~AQ^{2}\geqslant4R\cdot OP\cos^{2}\frac{\beta}{2}.
Учитывая, что AH=OP\sin\angle POA=OP\sin\beta
, получаем
\frac{1}{AM}+\frac{1}{AN}=\frac{AH}{AP^{2}}+\frac{AH}{AQ^{2}}=AH\cdot\left(\frac{1}{AP^{2}}+\frac{1}{AQ^{2}}\right)\leqslant
\leqslant AH\cdot\left(\frac{1}{4R\cdot OP\sin^{2}\frac{\beta}{2}}+\frac{1}{4R\cdot OP\cos^{2}\frac{\beta}{2}}\right)=
=OP\sin\beta\cdot\left(\frac{1}{4R\cdot OP\sin\frac{\beta}{2}}+\frac{1}{4R\cdot OP\cos\frac{\beta}{2}}\right)=
=\frac{1}{2R}\cdot\left(\frac{2\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2}}{2\sin^{2}\frac{\beta}{2}}+\frac{2\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2}}{2\cos^{2}\frac{\beta}{2}}\right)=
=\frac{1}{2R}\left(\frac{\cos\frac{\beta}{2}}{\sin\frac{\beta}{2}}+\frac{\sin\frac{\beta}{2}}{\cos\frac{\beta}{2}}\right)=\frac{1}{2R\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2}}=\frac{2}{2R\sin\beta}=\frac{2}{AB}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Иранские математические олимпиады. —
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2011, № 5, задача 3 (2009, с. 437-438), с. 288