16314. Биссектрисы треугольника ABC
, проведённые к сторонам BC=a
, CA=b
и AB=c
, равны l_{a}
, l_{b}
и l_{c}
соответственно, а R
— радиус описанной окружности треугольника. Докажите, что
\frac{b^{2}+c^{2}}{l_{a}}+\frac{c^{2}+a^{2}}{l_{b}}+\frac{a^{2}+b^{2}}{l_{c}}\gt4R.
Решение. Пусть углы треугольника ABC
, противолежащие сторонам BC
, CA
и AB
равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. По формуле для биссектрисы треугольника (см. задачу 4021)
l_{a}=\frac{2bc\cos\frac{\alpha}{2}}{b+c},~l_{b}=\frac{2ca\cos\frac{\beta}{2}}{c+a},~l_{c}=\frac{2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}.
Тогда
\frac{b^{2}+c^{2}}{l_{a}}+\frac{c^{2}+a^{2}}{l_{b}}+\frac{a^{2}+b^{2}}{l_{c}}\gt4R~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{(b^{2}+c^{2})(b+c)}{2bc\cos\frac{\alpha}{2}}+\frac{(c^{2}+a^{2})(c+a)}{2ca\cos\frac{\beta}{2}}+\frac{(a^{2}+b^{2})(a+b)}{2ab\cos\frac{\gamma}{2}}\gt4R~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{(b^{2}+c^{2})(b+c)}{2Rbc\cos\frac{\alpha}{2}}+\frac{(c^{2}+a^{2})(c+a)}{2Rca\cos\frac{\beta}{2}}+\frac{(a^{2}+b^{2})(a+b)}{2Rab\cos\frac{\gamma}{2}}\gt2~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{(b^{2}+c^{2})(b+c)\sin\frac{\alpha}{2}}{2Rbc\sin\alpha}+\frac{(c^{2}+a^{2})(c+a)\sin\frac{\beta}{2}}{2Rca\sin\beta}+\frac{(a^{2}+b^{2})(a+b)\sin\frac{\gamma}{2}}{2Rab\sin\gamma}\gt1~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{(b^{2}+c^{2})(b+c)\sin\frac{\alpha}{2}}{abc\sin\alpha}+\frac{(c^{2}+a^{2})(c+a)\sin\frac{\beta}{2}}{bca\sin\beta}+\frac{(a^{2}+b^{2})(a+b)\sin\frac{\gamma}{2}}{cab\sin\gamma}\gt1,
а так как
b^{2}+c^{2}\geqslant2bc,~c^{2}+a^{2}\geqslant2ca,~a^{2}+b^{2}\geqslant2ab,
и по неравенству треугольника
b+c\gt a,~c+a\gt b,~a+b\gt c,
то
\frac{(b^{2}+c^{2})(b+c)\sin\frac{\alpha}{2}}{abc\sin\alpha}+\frac{(c^{2}+a^{2})(c+a)\sin\frac{\beta}{2}}{bca\sin\beta}+\frac{(a^{2}+b^{2})(a+b)\sin\frac{\gamma}{2}}{cab\sin\gamma}\gt
\gt\sin\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\beta}{2}+\sin\frac{\gamma}{2}.
Таким образом, достаточно доказать, что
\sin\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\beta}{2}+\sin\frac{\gamma}{2}\gt1.
Поскольку для любого треугольника верно неравенство
\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=1+\frac{r}{R}\gt1
(см. задачу 4157а), то оно верно и для треугольника с углами \frac{180^{\circ}-\alpha}{2}
, \frac{180^{\circ}-\beta}{2}
и \frac{180^{\circ}-\gamma}{2}
(см. задачу 3250). В этом случае оно принимает вид
\sin\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\beta}{2}+\sin\frac{\gamma}{2}\gt1.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2007
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2011, № 6, задача 3 (2010, с. 278-279), с. 370