16319. Точка D
— середина стороны BC
треугольника ABC
, E
— проекция вершины C
на прямую AD
. Известно, что \angle ACE=\angle ABC
. Докажите, что треугольник ABC
прямоугольный и равнобедренный.
Решение. Очевидно, утверждение верно для равнобедренного треугольника с основанием BC
. Пусть AB\ne AC
.
Обозначим AC=b
, AB=c
, \angle ABC=\beta
и \angle ACB=\gamma
. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
. Тогда (см. задачу 20)
\angle CAO=\angle BAF=90^{\circ}-\beta=\angle CAE,
поэтому точка O
лежит на прямой AE
, а так как точка O
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC
, то середина D
стороны BC
совпадает с O
. Значит, BC
— диаметр описанной окружности треугольника ABC
. Следовательно, \angle BAC=90^{\circ}
.
Что и требовалось доказать.
Источник: Швейцарские математические олимпиады. — 2006
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2011, № 7, задача 1 (2010, с. 374), с. 429