1632. На высотах BB_{1}
и CC_{1}
треугольника ABC
взяты точки B_{2}
и C_{2}
так, что \angle AB_{2}C=\angle AC_{2}B=90^{\circ}
. Докажите, что AB_{2}=AC_{2}
.
Указание. В прямоугольном треугольнике AB_{2}C
отрезок B_{2}B_{1}
— высота, проведённая из вершины прямого угла, поэтому AB^{2}_{2}=AC\cdot AB_{1}
.
Решение. В прямоугольном треугольнике AB_{2}C
отрезок B_{2}B_{1}
— высота, проведённая из вершины прямого угла, поэтому AB^{2}_{2}=AC\cdot AB_{1}
. Аналогично AC^{2}_{2}=AB\cdot AC_{1}
.
Из подобия треугольников AB_{1}C_{1}
и ABC
(см. задачу 19) следует, что
\frac{AB_{1}}{AB}=\frac{AC_{1}}{AC},~\mbox{или}~AB_{1}\cdot AC=AC_{1}\cdot AB.
Поэтому AB^{2}_{2}=AC^{2}_{2}
. Следовательно, AB_{2}=AC_{2}
.
