16322. Расстояния от вершины A
до центра описанной окружности треугольника ABC
и до ортоцентра равны. Найдите угол BAC
.
Ответ. 60^{\circ}
или 120^{\circ}
.
Решение. Пусть радиус описанной окружности треугольника ABC
равен R
.
Опустим перпендикуляр OM
из центра O
описанной окружности треугольника на сторону BC
. Тогда M
— середина стороны BC
, OM
— биссектриса угла ABC
.
Пусть H
— ортоцентр треугольника ABC
. Тогда (см. задачу 1257)
OM=\frac{1}{2}AH=\frac{1}{2}R.
Если точки O
и H
лежат по одну сторону от прямой BC
(рис. 1), то центральный угол BOC
вдвое больше вписанного угла BAC
, поэтому
\angle BOM=\frac{1}{2}\angle BOC=\angle BAC.
В прямоугольном треугольнике OMB
катет OM=\frac{R}{2}
вдвое меньше гипотенузы OC=R
, поэтому \angle BOM=60^{\circ}
. Следовательно,
\angle BAC=\angle BOM=0^{\circ}.
Если точки O
и H
лежат по разные стороны от прямой BC
(рис. 2), то из равенства \angle BOC=120^{\circ}
получаем
\angle BAC=\frac{1}{2}(360^{\circ}-\angle BOC)=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}.
Источник: Британская математическая олимпиада. — 2005
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2011, № 7, задача 3, с. 445