16328. Точка E
— середина стороны CD
квадрата ABCD
. Точка F
— проекция вершины B
на прямую AE
. Докажите, что CF=CD
.
Решение. Первый способ. Пусть сторона квадрата равна a
. Тогда
AE=\sqrt{a^{2}+\frac{a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}.
Поскольку \angle AED=\angle BAF
, прямоугольные треугольники BFA
и ADE
подобны, причём коэффициент подобия равен отношению гипотенуз, т. е.
k_{1}=\frac{AB}{AE}=\frac{a}{\frac{a\sqrt{5}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.
Тогда
AF=k_{1}DE=\frac{2\sqrt{5}}{5}\cdot\frac{a}{2}=\frac{a\sqrt{5}}{5}~\Rightarrow
\Rightarrow~EF=AE-AF=\frac{a\sqrt{5}}{2}-\frac{a\sqrt{5}}{5}=\frac{3a\sqrt{5}}{10}.
Прямоугольные треугольники EGF
и EAD
подобны с коэффициентом
k_{2}=\frac{EF}{AE}=\frac{\frac{3a\sqrt{5}}{10}}{\frac{a\sqrt{5}}{2}}=\frac{3}{5}.
Пусть G
— проекция точки F
на прямую CD
. Тогда
FG=k_{2}AD=\frac{3}{5}a,~EG=k_{2}DE=\frac{3}{5}\cdot\frac{a}{2}=\frac{3}{10}a,
поэтому
CG=CE+EG=\frac{a}{2}+\frac{3}{10}a=\frac{4}{5}a.
Следовательно,
CF=\sqrt{CG^{2}+FG^{2}}=\sqrt{\left(\frac{4}{5}a\right)^{2}+\left(\frac{3}{5}a\right)^{2}}=a=CD
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть H
— точка пересечения прямых AE
и BC
. Из равенства прямоугольных треугольников HCE
и ADE
получаем, что CH=AD=BC
, поэтому C
— середина гипотенузы BH
прямоугольного треугольника BFH
. Значит, FC
— медиана этого треугольника, проведённая из вершины прямого угла. Следовательно (см. задачу 1109),
CF=\frac{1}{2}BH=BC=CD.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2012, № 7, с. 278