16334. Точки P
и Q
лежат на гипотенузе BC
прямоугольного треугольника ABC
, причём BP=PQ=QC
, AP=3
и AQ=4
. Найдите стороны треугольника.
Ответ. 3\sqrt{5}
, \sqrt{33}
, 2\sqrt{3}
.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
и BP=PQ=QC=d
. Отрезок AP
— медиана треугольника ABQ
, поэтому (см. задачу 4014)
4AP^{2}=2AB^{2}+2AQ^{2}-BQ^{2},~\mbox{или}~36=2c^{2}+32-4d^{2},~\mbox{или}~c^{2}=2d^{2}+2.
Отрезок AQ
— медиана треугольника CAP
, поэтому
4AQ^{2}=2AC^{2}+2AP^{2}-CP^{2},~\mbox{или}~64=2b^{2}+18-4d^{2},~\mbox{или}~b^{2}=2d^{2}+23.
Значит,
b^{2}+c^{2}=(2d^{2}+2)+(2d^{2}+23)=4d^{2}+25.
С другой стороны, по теореме Пифагора
b^{2}+c^{2}=a^{2}=9d^{2}.
Из уравнения
4d^{2}+25=9d^{2}
получаем, что d^{2}=5
. Тогда
b^{2}=2d^{2}+23=33,~c^{2}=2d^{2}+2=12.
Следовательно,
b=\sqrt{33},~c=2\sqrt{3},~a=3d=3\sqrt{5}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2013, № 7, задача CC31, с. 295