16338. Радиус описанной окружности треугольника ABC
со сторонами BC=a
, CA=b
и AB=c
равен R
, а высоты, проведённые из вершин A
, B
и C
равны h_{a}
, h_{b}
и h_{c}
соответственно. Докажите, что
\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(R+\frac{h_{a}+h_{b}+h_{c}}{6}\right)\gt3.
Решение. Пусть S
— площадь треугольника ABC
. Тогда
S=\frac{abc}{4R}=\frac{1}{2}ah_{a}=\frac{1}{2}bh_{b}=\frac{1}{2}ch_{c}.
Значит (см. задачу 3399),
\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(R+\frac{h_{a}+h_{b}+h_{c}}{6}\right)=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(\frac{abc}{4S}+\frac{1}{3}S\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\right)\geqslant
\geqslant3\cdot\frac{1}{\sqrt[{3}]{{abc}}}\left(\frac{abc}{4S}+\frac{S}{\sqrt[{3}]{{abc}}}\right)\geqslant3\cdot\frac{1}{\sqrt[{3}]{{abc}}}\cdot2\sqrt{\frac{abc}{4S}\cdot\frac{S}{\sqrt[{3}]{{abc}}}}=3.
Применённые неравенства обращаются в равенства тогда и только тогда, когда a=b=c
и \frac{abc}{4S}=\frac{S}{\sqrt[{3}]{{abc}}}
. В этом случае
\frac{abc}{4S}=\frac{S}{\sqrt[{3}]{{abc}}}~\Leftrightarrow~S=(abc)^{\frac{4}{3}}=\frac{1}{2}a^{2}\ne\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.
Противоречие. Следовательно,
\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(R+\frac{h_{a}+h_{b}+h_{c}}{6}\right)\ne3.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2013, № 10, задача 3795 (2012, с. 421, 4220), с. 465