16340. Докажите, что отношение периметра описанного четырёхугольника к длине вписанной в него окружности равно отношению площади четырёхугольника к площади круга, ограниченного этой окружностью.
Решение. Пусть стороны четырёхугольника равны a
, b
, c
и d
, периметр четырёхугольника равен P
, площадь равна S
; радиус окружности равен r
, длина окружности равна l
, а площадь круга равна S_{1}
.
Тогда,
P=a+b+c+d,~S=\frac{ar}{2}+\frac{br}{2}+\frac{cr}{2}+\frac{dr}{2}
(см. задачу 523),
l=2\pi r,~S_{1}=\pi r^{2}.
Следовательно,
\frac{P}{l}=\frac{a+b+c+d}{2\pi r},
\frac{S}{S_{1}}=\frac{\frac{ar}{2}+\frac{br}{2}+\frac{cr}{2}+\frac{dr}{2}}{\pi r^{2}}=\frac{\frac{1}{2}r(a+b+c+d)}{\pi r^{2}}=\frac{a+b+c+d}{2\pi r}=\frac{P}{l}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2014, № 3, задача CC63, с. 98